Mathe GK Abivorbereitung

Mathe GK Abivorbereitung

Hi Leute,
bin im Harhues-Kurs und habe ein Problem mit einer Matheaufgabe. Habe schon mehrere gefragt, wie man das rechnet, aber bisher konnte keiner mir helfen.
Hier die Aufgabe:
Bestimme eine ganzrationale Funktion f dritten Grades so, dass gilt: P(0,0) ist Punkt des Graphen von f, an der Stelle 1 liegt ein relativer Extrempunkt des Graphen, an der Stelle 3 liegt ein Wendepunkt des Graphen. Die Wendetangente hat die Steigung 12.

Würde mich über eine Antwort freuen.
Lg

Re: Mathe GK Abivorbereitung

Hallo Diana,

zunächst stellst du erstmal die gesuchte Funktion mit Ableitungen auf: Funktion f dritten Grades:                          f(x)=ax³+bx²+cx+d , f'(x)=3ax²+2bx+c , f''(x)=6ax+2b

gegeben ist ja f(0)=0 (Punkt einsetzen) , f'(1)=0 (Extrempunkt, notw. Bedingung) , f''(3)=0 (Wendepunkt, notw. Bed) und f'(3)=12 (Steigung im Wendepunkt); das setzt du jetzt in deine Gleichungen von oben ein und du erhälst:

du subtrahierst die zweite von der vierten Gleichung und erhälst: 24a + 4b = 12 , in diese Gleichung setzt du b = -9a ein und erhälst a = -1

also ist b = 9 und für c ergibt sich -15

Eine mögliche Funktion lautet also f(x)= -x³ + 9x² -15x

Du musst jetzt nur noch die Ableitungen bilden und überprüfen, ob an der Stelle 1 auch wirklich ein Extrempunkt vorliegt (hinreichende Bedingung => f''(1)=12), für die Wendestelle gilt dasselbe mit der dritten Ableitung. Nach der Überprüfung weißt du, ob die Funktion die gesuchte ist.

Ich hoffe, das hilft dir so weiter. Viel Erfolg noch beim Lernen :-)

Christine