Ohne zugeben zu wollen, dass ich ein wenig faul bin, möchte ich euch bitten mir zu helfen. Gesucht sind die Schranken der Funktion y(x) = (sin x + cos x)/cosh x In der Lösung steht sowas komisches wie Schranken (z.B.): -2,+2. Erstens finde ich das z.B. mehr als merkwürdig. Andererseits ist mir aber auch klar, das sin und cos jeweils maximal +1 bzw. minimal -1 werden können, diese dann addiert zu +2, -2 und wenn man dann noch durch einen cosh, der minimal 1 ist, teilt, ein Funktionswert zw. -2 und +2 erscheint. Das ist doch aber nicht die kleinste Schranke.(?) Dazu muss ich noch sagen, dass mir gerade klar geworden ist, dass meine Aussage für die Aufgabenstellung wohl ausreichend ist und die z.B. - Schranken begründet. Nagut, eine Ablehnung bzw. Bestätigung fänd ich trotzdem toll.
Bei den meisten Menschen laufen die Füße und die Nase riecht, bei einigen läuft aber auch die Nase und die Füße riechen.
Re: Bitte um Lösung
Hi, hab die Fkt. grad mal von Matematika zeichen lassen, da kommt so in etwa 1.25 für die obere Schranke und -0,4 als untere Schranke --> versuch doch mal Minima und Maxima der Fkt. auszurechnen, bin mir aber nicht sicher ob das so einfach geht ( vielleicht mit Euler- Darstellung ?)
"Wenn du sie nicht überzeugen kannst, dann verwirre sie!"
Re: Bitte um Lösung
Die Grundidee stimmt, aber der Kosinus hyperbolicus wird nur 1 bei x = 0, und da ist der Sinus 0.
Schranken sind -2 und +2, aber Schranken sind auch -500 und +7587456. Die kleinsten Schranken sind -2 und +2 nicht, aber wenn nur irgendwelche Schranken gesucht sind, kannst du das getrost so abgeben.
Ansonsten muß man ableiten und Extrema suchen, wie von Katharina schon gesagt.
[ (sin x + cos x) / cosh x ] ' = [ (cos x - sin x) cosh x - (sin x + cos x) sinh x ] / cosh^2 x = 0
(cos x - sin x) cosh x = (sin x + cos x) sinh x
sin (-x) = cos (pi/2 + x)
[ cos x + cos (pi/2 + x) ] cosh x = [ cos x + cos (pi/2 - x) ] sinh x
cos x + cos y = 2 cos ( (x+y) / 2 ) cos ( (x-y) / 2 )
2 cos ( x + pi/4 ) cos ( -pi/4 ) cosh x = 2 cos ( pi/4 ) cos ( x - pi/4 ) sinh x
cos ( x + pi/4 ) cosh x = cos ( x - pi/4 ) sinh x
cos ( x + pi/4 ) / cos ( x - pi/4 ) = tanh x
Das ist allerdings eine transzendente Gleichung, die man nur numerisch lösen kann. Im Intervall (-5;5) existieren 4 Nullstellen: f(-4,71247) = 0,0179651 f(-1,61068) = -0,399187 f(0,412803) = 1,2124 f(3,14345) = -0,086267
Außerhalb existieren asymptotisch unendlich viele Nullstellen, deren Funktionswert aber zwischen den bereits bekannten liegt (per Abschätzen).
Somit ist die kleinste obere Schranke gleich 1,2124 und die größte untere Schranke -0,399187.
Viel Spaß mit deinem Übungsleiter
____________________ Den letzten Menschen barg der Urlehm schon, den Samen für des letzten Sommers Mohn. Die Note, die der Schöpfungsmorgen schrieb, dröhnt als des jüngsten Tages Donnerton. (Aus den Rubaiyat des Omar Khajjam)
Re: Bitte um Lösung
Danke vielmals. Die Aufgabe musste meine Nachhilfeschülerin lösen und ich wollte es ihr nochmal genau erklären, aber das scheint sich jetzt erledigt zu haben, da sie mit meiner Erklärung schon genug zu tun hat. Danke nochmal für eure Mühen.
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