Das Brachystochronen Problem

Hallo Forum,

einige von euch kennen sicher das Brachystochronen Problem.

Hierbei ereignet sich folgendes: Zwei gleiche Körper gleiten reibungsfrei auf unterschiedlich langen Bahnen, die vom Start ins Ziel führen.
Die Bahnen beginnen und enden in jeweils gleicher Höhe.
(Reibungsfrei wird nicht so ganz klappen, aber eine Kugel dürfte den Zweck erfüllen)
Eine Kugel, die ein Tal durchläuft ist schneller wie eine Kugel auf der Ebene am Ziel, obwohl die Talkugel einen längeren Weg durchläuft. Das Gleiche haben wir, wenn statt eines Tals die eine Kugel einen flachen Hügel überquert.
Hier kommen die Gesetze der schiefen Ebene zur Anwendung und natürlich die Trägheit der Masse.
Beispiel Talkugel: Ab Beginn des Tals bis zur Mitte des Tals wird die Kugel zusätzlich beschleunigt. Hat also erst einmal eine höhere Geschwindigkeit wie die Kugel, welche nur eine normale schräge Strecke herabrollt. Dann wird die Kugel wieder abgebremst und zwar so lange, bis sie vollständig aus dem Tal ist.
Nun sollte man eigentlich annehmen, dass die Geschwindigkeitszunahme der Kugel, und die Abbremsung derselben einen Energieausgleich darstellt. Tut es aber nicht, und Schuld daran ist die Trägheit der Masse. Die Kugel wird dadurch nicht im gleichen Maße abgebremst, wie sie beschleunigt wurde.
Moment wird nun manch einer sagen, das Beschleunigen der Kugel im Tal erfährt ja auch eine Masseträgheit. Also müsste doch ein Energieausgleich stattfinden. Es ist aber nicht so. Die Kugel war am Beginn des Taleintritts ja schon in Bewegung, die zusätzliche Masseträgheit fällt also nicht so ins Gewicht. Zudem liegt der Talaustrittspunkt tiefer als der Taleintrittspunkt. Die Kugel hat dementsprechend ab der Talfahrt bis zum Erreichen des Zieles eine höhere Geschwindigkeit als die andere Kugel auf der einfachen schiefen Ebene. Das erklärt und beweist, dass die Talkugel schneller ankommt als die andere.
Kommen wir zu der Kugel, die einen Hügel überqueren muss. Hier wird die Kugel mit beginn des Hügels langsamer als eine zweite Kugel, die nur eine gerade schiefe Ebene herabkullert. Ab dem höchsten Punkt des Hügels aber, nimmt dieHügelkugel wieder Fahrt auf. Da hier die schiefe Ebene bis zum Zielpunkt wesentlich steiler ist, als die der zweiten Kugel, ist auch diese Kugel schneller am Ziel, obwohl ja die Strecke über den Hügel länger ist..
Danach kann man einen direkten physikalischen Leitsatz entwickeln der dann heißt: Nicht die mathematisch kürzeste Strecke zwischen zwei Punkten muss auch die schnellste Verbindung sein. Erweitern kann man diesen Leitsatz dann noch mit: Alles nimmt den Weg des geringsten Widerstandes, und dieser Weg muss nicht unbedingt die kürzeste Strecke von a nach b sein. Oder noch salopper ausgedrückt: Eine Welle kann gegenüber einer Geraden einen Geschwindigkeitsvorteil haben. Und dann beachte man, dass logischer Weise alle Schwingungen ja wellenförmig sind.
Und wieder zeigt sich, dass angebliche mathematische Grundsätzlichkeiten am Beispiel meines Leitsatzes manchmal ad absurdum die Realität vor Augen führen.
Gruß HmR